TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Observando los diferentes ejemplos de existencia y cálculo de límites vemos que existen dos tipos de discontinuidades:

- Unas que se deben a la no existencia del límite en el punto.

- Otras a que sí existe el límite pero la función no es continua, ya sea porque este es distinto al valor de la función en el punto, o bien porque la función no está definida en dicho punto.

Esta diferencia nos conduce a las siguientes definiciones:

EVITABLE:

Se dice que f tiene una discontinuidad evitable en un punto x=0 si

la función no es continua en dicho punto pero lim x→x0 ---> f (x) existe y es finito.

En este caso se puede redefinir la función en dicho punto dándole el valor del límite. La nueva función es ahora continua en el punto en cuestión.

ESENCIAL:

Si la discontinuidad no es evitable se dice que es una discontinuidad esencial. Estas discontinuidades se suelen llamar de salto.

GRADIENTE

En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial que apunta en la dirección de la mayor tasa de aumento del campo escalar, y cuya magnitud es la mayor tasa de cambio, es decir, sería el recorrido más corto entre dos puntos. El gradiente es positivo cuando es creciente, y negativo cuando es decreciente.

El vector gradiente esta compuesto por las derivadas parciales con respecto a "x", "y" y "z" dependiendo si estas trabajando en el plano o espacio. Por l

o cual, el vector gradiente quedara formado de la siguiente forma:

< ∂ f / ∂ x; ∂ f / ∂y; ∂ f / ∂z >

La imagen que se puede observar a continuación es una gráfica de un ejemplo de un gradiente, en la cual se puede observar que el gradiente es la tangente de la recta en un punto. 

POLINOMIO DE TAYLOR

El polinomio de Taylor es una serie que permite aproximar los valores de cualquier función a través de las derivadas de ésta en torno a un punto determinado. Aplicando esto, la función principal se te queda como un polinomio mucho más sencillo.

El polinomio de Taylor depende de si se aplica en una función con 1 variable o con una de 2 variables. Vamos a comentar cada una de ellas:

PARA 1 VARIABLE:

Para realizar esta fórmula necesitamos ir calculando las derivadas.

PARA 2 VARIABLES:

Para aplicar el polinomio de Taylor en dos variables tenemos que ir calculando las derivadas parciales, y de ellas el gradiente y Hessiano.

A continuación se muestra la gráfica del polinomio de Taylor para grados 1,2 y 3:

REGLA DE LA CADENA - INTEGRALES PARCIALES

El sistema de regla de la cadena se aplica en derivadas parciales continuas, en las que X e Y son funciones de uno o dos parámetros, es decir, que dependen de éstos. Según si dependen de un parámetro o de dos se aplica una fórmula.

PARA 1 PARÁMETRO:

Cuando una función depende de un parámetro como puede ser 't' se aplica esta fórmula:

Pero, esta fórmula sale de aplicar la regla de la cadena, la cual esta bien clara en este esquema:

Utilizando este esquema queda muy claro como aplicar la regla de la cadena, y a su vez, como resolver la integral.

PARA 2 PARÁMETROS:

Cuando una función depende de un parámetro como pueden ser 's' y 't' como se ven en el ejemplo siguiente, se aplican estas fórmulas:

Al igual que hemos comentado en el apartado de 1 parámetro, se ve muy claro y fácil como aplicar esta regla de la cadena y solucionar la integral a resolver.

                                       

INTEGRALES:

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático . Una integral es el proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada, es decir, la operación opuesta de la derivada así como la suma es a la resta.

Por conveniencia se introduce  una notación para la antiderivada de una función.

Si F^!(x) = f(x),  se representa: 

A este símbolo ∫ se le llama símbolo de  la integral y a la notación∫f x  dx se le llama integral indefinida  de f(x) con respecto a x. La función f(x)se denomina integrando, el proceso recibe el nombre de integración. Al número C se le llama    conste de integración esta surge por la imposibilidad  de la constante derivada. Así como dx denota diferenciación son respecto a la variable x, lo cual indica la variable derivada.

∫f x  dx

Esto se lee integral de fx del diferencial de x.

Básicamente las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución.

Aquí dejo adjunto una tabla de integrales con la cual se pueden resolver cualquier ejercicio de integrales. Aparecen las integrales más importantes: